本发明涉及忆阻器，具体为一种基于双离散忆阻器的映射方法。
背景技术：
1、忆阻器被提出和成功制备以来，其特殊的记忆效应和强的非线性特征引起了学者的广泛和持续的关注；有鉴于此，忆阻器对非线性电路/系统、人工神经网络和神经形态计算等领域的发展具有重要的研究意义。特别地，忆阻器常被用来构造忆阻混沌系统或电路来产生丰富动力学行为。例如，通过使用三个忆阻器，一个显示具有多类型涡卷超混沌吸引子的六阶忆阻超混沌电路被设计。特别地，基于局部有源忆阻器的振荡电路被构造，并在混沌域边缘发现了大量的神经形态行为。另外，使用忆阻器模拟突触和电磁感应效应，多种忆阻神经元和神经网络表现出了接近真实的神经电活动。非常有趣地，将多段线性忆阻器耦合到常规的sprotta系统中，任意数量的隐藏吸引子可以被生成。然而在实际中，这些连续忆阻系统的模型十分复杂和难以实现，尤其是忆阻器元件。例如，至少需要四维才能在连续系统中产生超混沌行为，而对于离散映射来说只需两维。为此，考虑到离散忆阻器具有与连续忆阻器类似的固有属性，开发新型的简单的离散忆阻器映射来代替连续忆阻系统对于实际工程应用具有重要意义和特定价值，其尚未得到足够重视。
2、现有技术中，一些基于离散忆阻器的映射被建模并产生了复杂的超混沌现象和共存行为。具体地，通过使用前向欧拉差分法对理想的连续忆阻器离散化，四种仅由单忆阻器组成的2维超混沌映射被开发并且超混沌和稳定点吸引子共存的双稳态现象可以被初值非破坏地控制。同时，通过耦合离散忆阻器和传统的映射，例如，logistic、gaussian、多种超混沌映射被构造，产生的复杂超混沌吸引子和初值控制的共存的双稳态行为被成功应用到伪随机数发生器，图像加密，安全通信和储备池计算等领域。最近，为了丰富忆阻初始条件相关的动力学行为和提高其应用价值，忆阻映射中更复杂的多稳定性和极端多稳定性现象日益成为了研究的前沿。通过将离散忆阻器与具有正弦函数的二维映射耦合并加入常数项，在新型的三维忆阻超混沌映射中表现出了具有多稳定性的共存吸引子。另外，通过使用离散忆阻器表征rulkov神经元的电磁感应效应，依赖于忆阻初始状态的模式转迁行为表现出了极端多稳定性。
3、然而，为了实现复杂的极端多稳定性，这些忆阻器映射的差分方程的结构较为复杂。因此，通过并联和复合操作，仅由离散忆阻器构造而成的映射以简单的方式实现了带有极端多稳定性的共存行为。不幸的是这些映射未能表现出类似连续忆阻系统那样的忆阻初值控制的极端多稳定性。
4、综上所述，现阶段缺少一种简单的、可以基于忆阻器获得超混沌和极端多稳定性的离散映射的方法。
技术实现思路
1、针对现有技术中存在的缺少一种简单的、可以基于忆阻器获得超混沌和极端多稳定性的离散映射的方法的问题，本发明提供了一种基于双离散忆阻器的映射方法，包括以下步骤：
2、构建正弦型离散忆阻器s-dm和余弦型离散忆阻器c-dm；
3、将正弦型离散忆阻器s-dm和余弦型离散忆阻器c-dm并联耦合并通过自反馈连接，构造三维双离散忆阻器超混沌映射模型，三维双离散忆阻器超混沌映射模型包括三维正弦-正弦离散忆阻器ssdm超混沌映射模型和三维正弦-余弦离散忆阻器scdm超混沌映射模型；
4、将三维双离散忆阻器超混沌映射模型写入微控制器的数字电路中，微控制器将所产生的数字信号转换成状态变量序列对应的模拟电压，模拟电压被输入到示波器中进行捕获，获得超混沌和极端多稳定性的离散映射。
5、进一步的，本发明提供的一种基于双离散忆阻器的映射方法，还包括：
6、验证三维双离散忆阻器超混沌映射模型的映射动力学行为和极端多稳定性，具体包括：
7、确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的稳定性分布；
8、确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的耦合强度依赖的动力学行为分布和局部行为与吸引子的评估，进而确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的映射的参数依赖的超混沌动力学演化机理；
9、确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值调控的共存行为的机制、初值依赖的极端多稳定性、初值调控的共存参数分岔、初值调控的共存线吸引子和初值调控的平面共存行为，进而确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值调控的分岔与共存极端多稳定性。
10、进一步的，离散忆阻器模型为：
11、
12、所述正弦型离散忆阻器s-dm为：
13、
14、所述余弦型离散忆阻器c-dm为：
15、
16、式中，sin(πqn)和cos(πqn)表示连续忆阻器的忆阻函数m(q)在第n次迭代的采样值；vn，in和qn分别是电压v(t)，电流i(t)和电荷q(t)在第n次迭代的采样值；且qn+1是第n+1次迭代的采样值。
17、进一步的，正弦型离散忆阻器s-dm的忆阻函数为m1(qn)，余弦型离散忆阻器c-dm的忆阻函数为m2(qn)，当m1(qn)＝m2(qn)时，三维双离散忆阻器超混沌映射模型是同构的；当m1(qn)≠m2(qn)时，三维双离散忆阻器超混沌映射模型是异构的；
18、当m1(qn)＝m2(qn)＝sin(πqn)时，同构的三维正弦-正弦离散忆阻器ssdm超混沌映射模型为：
19、
20、当m1(qn)＝sin(πqn)和m2(qn)＝cos(πqn)时，异构的三维正弦-余弦离散忆阻器scdm超混沌映射模型为：
21、
22、式中，k1和k2为两个离散忆阻器的耦合强度；xn是两个离散忆阻器的电流in，yn和zn为两个离散忆阻器的内部状态qn；xn+1，yn+1和zn+1分别为xn，yn和zn的n+1次迭代值。
23、进一步的，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的离散映射的稳定性分布，具体包括：
24、设ssdm映射的固定点为s＝(x*,y*,z*)，则在固定点s处的代数结构为：
25、
26、因此，固定点s被计算为s＝(0,μ,η)，其中μ和η与离散忆阻器初始条件对应，由于μ和η可取任意常数，所以s是无限多的平面固定点集；
27、为了定量分析s的稳定性边界，ssdm映射在s处的雅可比矩阵写成：
28、
29、根据js，特征方程被推导为：
30、det(λi-js)＝(λ-1)(λ-1)(λ-k1m1(μ)-k2m2(η))＝0
31、因此，特征值被获得为：
32、λ1＝1,λ2＝1,λ3＝k1m1(μ)+k2m2(η)
33、由于|λ1|＝|λ2|＝1是恒定的并且是在单位圆上，所以，固定点s的稳定性只能是临界稳定的或者不稳定的，其由|λ3|唯一决定；对于|λ3|＞1，固定点s是不稳定的，而对于|λ3|≤1，是临界稳定的；ssdm映射的|λ3|的值受控于耦合强度k1和k2以及初始条件μ和η，表明固定点的稳定性是极其复杂的；当|λ3|＝1并且(μ,η)为固定常数时，临界稳定的边界条件被定义为：
34、k1m1(μ)+k2m2(η)±1＝0
35、临界稳定的边界条件可用来判断映射的稳定性分布；
36、对于ssdm和scdm映射，临界稳定的边界条件被精确地表示为：
37、
38、进一步的，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的耦合强度依赖的动力学行为分布，具体包括：
39、动力学行为分布通过二维分岔图表征，其进一步区分和细化了不同的动力学行为；为了揭示ssdm和scdm映射的动力学演化机理，耦合强度k1和k2被选择为控制参数并且固定初始条件为(x0,y0,z0)＝(0.1,0.1,0.1)，当控制参数的区间为k1∈[-2,2]和k2∈[-2,2]时，每组参数集(k1,k2)对应的轨迹的振荡周期和李雅普诺夫指数分别可通过周期数判断法和基于wolf雅可比矩阵的方法计算，从而获得关于k1-k2平面的二维分岔图和李雅普诺夫指数谱；
40、二维分岔图中，ssdm和scdm映射产生的多种动力学行为根据周期数和李雅普诺夫指数被区分并被不同的色块填充：具有两个正的les的超混沌吸引子被标记为hch；混沌吸引子只有一个正的le，其被标记为ch；标记为sp的稳定的点吸引子具有较大的分布；发散行为被标记为di；对于具有零最大le的周期行为，标记为p02，p04，p06，p08，qp和mp分别被定义为周期2，周期4，周期6，周期8，准周期和多周期吸引子，且这些周期窗口也被不同色块填充，表明两个映射由倍周期分岔路径进入混沌；
41、比较二维分岔图，动力学行为分布之间存在的显著差异，且异构scdm映射比同构ssdm映射具有更大的和不规则的动力学行为参数域；且二维分岔图具有明显的边界，与稳定性分布一致，证明了理论分析的有效性；
42、为了准确测量不同动力学行为，根据每组参数集(k1,k2)对应的第一个le值绘制了二维le指数谱，其中颜色越深表示le的值越大；le指数谱准确刻画了二维分岔图的动力学行为，证明耦合强度能够诱导ssdm和scdm映射表现出复杂的动力学效应；所产生的动力学行为的参数域可以根据二维分岔图直接获得。
43、进一步的，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的局部行为与吸引子的评估，具体包括：
44、分岔点的统计特性可以直观地显示动力学行为在参数区间内的演化过程，因此由单个参数控制的一维分岔过程可用于确定耦合强度诱导吸引子演化机理；跟随动力学行为分布，当初始条件为(x0,y0,z0)＝(0.1,0.1,0.1)时，以k1诱导ssdm和scdm映射生成的单参数分岔图；
45、根据单参数分岔图，当固定k2＝1时，k1在区间[0.4,0.94]内诱导ssdm映射通过完整的倍周期分岔产生混沌和超混沌行为；随着k1的变化，ssdm映射在k1＝0.477处发生稳定点向周期2分岔的转迁，而又在k1＝0.533处分裂为周期4分岔，接着周期8分岔发生在k1∈[0.667,0.697]区间内；根据le指数谱，周期分岔具有零最大李雅普诺夫指数，表明分岔是准周期的；混沌行为定位在k1∈[0.697,0.726]∪[0.858,0.932]，其在le指数谱中显示具有一个正的le1；对于k1∈[0.726,0.784]∪[0.808,0.858]，具有正的le1和le2的超混沌行为可以被发现，并且窄的周期窗口分布在k1∈[0.784,0.808]中；与ssdm映射不同的是，当k2＝-1.5时，scdm映射的正向和反向的倍周期分岔过程分布在k1∈[-1.3,1.3]中，且变量x的分岔点具有对称性，余弦函数是偶函数并且导致关于k1的条件对称；观察可知，scdm映射存在与ssdm映射类似的动力学行为，如对称的周期、混沌和超混沌，与动力学行为参数域一致；因此所考虑的两个映射能够产生复杂的耦合强度依赖的动力学演化；
46、在典型参数的影响下，吸引子的拓扑结构和演变可视化；当初始条件为(x0,y0,z0)＝(0.1,0.1,0.1)，并且对于ssdm和scdm映射，k2分别被固定为1和–1.5时，随着k1的增大，两个映射产生了不同的吸引子，其具有不同的类型、拓扑结构和空间位置；对于吸引子的性能评估，计算对比le、谱熵se、排列熵pe、c0复杂度和关联维数cordim；其中，周期吸引子的最大le为0，混沌吸引子具有一个正的le，超混沌吸引子则具有两个正的le；通过比较se、pe、c0和cordim的值得到超混沌吸引子的随机性和复杂度最高，周期吸引子的动力学性能最低；因此，耦合强度依赖的ssdm和scdm映射不仅表现出复杂的动力学演化过程而且能够产生具有不同动力学性能的吸引子，包括性能优异的超混沌和混沌吸引子。
47、进一步的，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值调控的共存行为的机制，具体包括：
48、设μ＝x0和η＝y0，ssdm和scdm映射模型根据迭代机制被转换为：
49、
50、其中
51、两个忆阻器初始条件μ和η被分解为偶数部分和非偶数部分并被重写为：
52、
53、其中m和n为任意自然数，μ0和η0是yn和zn中提取的非偶数部分，下列约束条件需要满足：
54、
55、ssdm映射的表达式描述为：
56、
57、scdm映射的表达式描述为：
58、
59、因此，ssdm和scdm映射具有周期循环特性，即忆阻器初值调控性能得到验证；具体地，正弦和余弦忆阻器初始条件μ和η的周期为2，导致两个映射的变量的偏移在y和z轴得到非破坏性的调控；忆阻器初值调控过程不影响变量x的偏移，由ssdm和scdm映射在周期初值变换后的映射拓扑不变性得到证明；由于同时在y-z(μ-η)平面改变偏移量，所以ssdm和scdm映射可产生忆阻初值调控的平面共存动力学行为；为了揭示共存动力学行为演化机制，首先考虑单一忆阻初值作为控制参数的情形；
60、所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值依赖的极端多稳定性，具体包括：
61、利用初始条件(x0,μ,η)的二维/三维局部吸引盆检测两个映射的长期动力学轨迹所属的初值吸引域并表征初值依赖的极端多稳定性；
62、在不考虑忆阻器初值的切换周期的前提下，两个映射采用固定的耦合强度值并且非忆阻初始条件被限制在x0∈[-2,2]区间内；当ssdm映射忆阻器初始条件在μ＝η∈[-1,1]中变化时，μ-η-x0空间上的三维局部吸引盆被绘制，由les和周期数判断法得到；scdm映射的三维局部吸引盆利用同样的方法绘制；不同的颜色区域全面展示了两个映射的动力学行为对于初始条件的依赖性和敏感性，表明共存现象的出现；由于吸引盆中存在无限多的初始条件，所以无限多吸引子的共存现象可以被证实；
63、为了显示无限多吸引子的共存现象，以ssdm映射为例并选择η＝0.1截面，获得x0-μ平面上的局部吸引盆，scdm映射的动力学表现对于非忆阻初始条件x0具有较强的鲁棒性，这是因为当固定μ时，动力行为随着可调的x0未发生变化；在忆阻器初始条件的诱导下，scdm映射相继产生了稳定点、周期2、周期4、周期6，周期8、混沌和超混沌吸引子，证明了共存的多稳定性现象且可视化；共存吸引子具有不同的类型、拓扑结构和空间位置，因此ssdm和scdm映射中忆阻器初始条件依赖的无限多吸引子具有极端多稳定性。
64、进一步的，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值调控的共存参数分岔，具体包括：
65、设置ssdm映射的控制参数和初始条件分别为k1∈[0.4,0.94]，k2＝1和(x0,y0,z0)＝(0.1,μ,η)，其中μ和η满足μ＝η＝0.1+2m(m＝0,±1,±2)；通过数值模拟得到关于y和z的耦合强度依赖的共存参数分岔图，其中五组分岔点分别对应不同初值的动力学演化；图中ssdm映射中正向倍周期分岔点的空间位置被忆阻器的初始值在垂直方向抬升，但分岔过程和结构未受到忆阻初值的影响；同理得到scdm映射的共存参数分岔图，其中k1∈[-1.3,1.3]，k2＝1并且设置与ssdm映射相同的初始条件；scdm映射的对称正反向分岔结构被忆阻器初值精准的复制，并且以幅度偏移为2的规律分布在图中；得到两个映射中关于y和z的分岔结构是相同的，这是因为两个离散忆阻器具有相同的内部状态；
66、ssdm映射和scdm映射的共存参数分岔图证实了周期切换的忆阻器初值能够使ssdm和scdm映射同时产生关于y和z的偏移调控的分岔现象；随着忆阻器初值无限地增多，两个映射将会产生初值调控的共存极端参数分岔，这极大地提高了映射的灵活性和耦合强度依赖的动力学行为的灵活性；
67、所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值依赖的分岔，具体包括：
68、设置两个映射的初始条件分别为(x0,y0,z0)＝(-0.5,μ,0.1)和(x0,y0,z0)＝(0.1,0.1,η)，当(k1,k2)＝(0.84,1)和(k1,k2)＝(1.08,-1.5)时，两个映射随μ和η变化分岔，其中每个周期内的极端多稳定性分岔集(bs)被不同颜色深度表示，分别被标记为embs-2，embs-1，embs，embs+1和embs+2；随着μ和η变化，ssdm映射产生的气泡型倍周期分岔与scdm映射产生的正反向倍周期分岔呈现无限多个不同的吸引子共存，也就是极端多稳态；由于关于y和z的阶梯状分岔的偏移量和初始条件的切换周期为2，证明了极端多稳态分岔可由忆阻器初值调控；
69、两个映射的les以周期为2的规律切换，不同周期对应的les分布没有改变，说明忆阻器初值在周期切换过程中不影响les；对于长期轨迹的均值来说，mean(y)和mean(z)曲线表现出逐渐上升趋势，这是由忆阻器初值调控状态的偏移量产生的；对于非调控状态的均值在整个初值域中不变化，不同动力学行为对应的均值也是不同的；
70、ssdm和scdm映射中的每组极端多稳定性分岔可以在忆阻器初值调控下产生固定的偏移量切换，并且未涉及到调控的状态变量不受影响；ssdm和scdm映射具有不同的分岔结构，导致忆阻器初值调控的共存极端多稳定性存在差异。
71、进一步的，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值调控的共存线吸引子，具体包括：
72、通过ssdm映射和scdm映射产生μ-x0和η-x0平面上的局部吸引盆图，可以展示忆阻器初值诱导的具有偏移量调控的共存线吸引子，以忆阻器初值的偏移或周期为2的间隔被划分为局部吸引盆lba-2、lba-1、lba、lb1+1、lba+2；局部吸引盆图中沿μ或η方向上的分层吸引域并且每个lba中存在极端多稳定性行为，被不同的颜色渲染；比较两个局部吸引盆可得出ssdm映射比scdm映射具有更丰富的极端多稳定性，这是因为ssdm映射中各种共存行为的初值域远大于scdm映射中各种共存行为的初值域；在局部吸引盆图中选择典型参数(μ，η)后，两个映射产生了多种偏移调控的线共存吸引子，并且相邻吸引子之间具有宽度为2的偏移量；
73、所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值调控的平面共存行为，具体包括：
74、根据临界稳定条件，ssdm和scdm映射在μ-η平面上的稳定性分布被可视化，其中初始条件为(x0,y0,z0)＝(0.1,μ,η)，μ∈[-3,3]和η∈[-3,3]；忆阻初值诱导的黄色的不稳定区域同时在水平和垂直方向上产生了宽度为2的偏移，证明了两个映射的平面稳定性分布服从初值调控机制；由于正弦和余弦函数的对称性，在一个周期内可产生两个满足|λ3|＞1的不稳定域，表明同时在μ-η平面上总共生成2×3×3＝18个共存的不稳定域；
75、两个映射的平面共存的极端多稳性可以使用局部吸引盆来表征，产生了大约18个相互分离的共存的局部吸引盆，证明了稳定性分布的正确性；每个局部吸引盆中包含多种共存的动力学行为，意味着每个局部吸引盆具有极端多稳性；每个局部吸引盆在μ和η轴上以宽度为2的偏移量无限地自我复制，导致了任意一种动力学行为都可通过忆阻初值调控而产生平面共存现象；ssdm的局部吸引盆中红色的超混沌吸引子占据较大的区域，较大的发散区域存在于scdm映射的局部吸引盆中，表明ssdm映射的极端多稳定现象更丰富并且两个映射的平面共存行为存在本质不同；基于傅里叶变换的归一化谱熵被估计并且结果通过2-d图被可视化，说明动力学行为越复杂，se的值越大且对应的颜色越深；se复杂度的分布也呈现出周期循环特性，意味着调控过程中，动力学行为的性能不发生改变，即拥有无损控制特性；
76、当μ＝μ0+2m(m＝0,±1)和η＝η0+2n(n＝0,±1)时，选择典型参数后可构造ssdm和scdm映射平面共存吸引子，展现忆阻器初值诱导的各种吸引子的周期循环特性。
77、与现有技术相比，本发明提供的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其有益效果是：
78、本发明通过并联两个具有周期忆导函数的离散忆阻器构造了两种双离散忆阻器超混沌映射模型，分别为同构ssdm和异构scdm映射；当耦合强度作为控制参数时，参数分岔机制和多种具有出色动力学性能的吸引子被揭示；由于所考虑的映射具有忆阻器初值相关的平面固定点，共存的稳定点、周期、混沌和超混沌吸引子，也就是极端多稳定性现象被发现；线和平面共存的极端多稳定性现象通过周期型离散忆阻器初值被不断地非破坏调控，而且无限多的丰富的共存吸引子显示出在线和平面上灵活地自我复制；综合来看本发明提供的两种双离散忆阻器超混沌映射模型，具有简单的结构但是可以显示复杂的超混沌动力学和可调控的极端多稳定性。
1.一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，包括以下步骤：
2.如权利要求1所述的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，还包括：
3.如权利要求1所述的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，所述正弦型离散忆阻器s-dm为：
4.如权利要求2所述的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，所述正弦型离散忆阻器s-dm的忆阻函数为m1(qn)，余弦型离散忆阻器c-dm的忆阻函数为m2(qn)，当m1(qn)＝m2(qn)时，三维双离散忆阻器超混沌映射模型是同构的；当m1(qn)≠m2(qn)时，三维双离散忆阻器超混沌映射模型是异构的；
5.如权利要求4所述的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的离散映射的稳定性分布，具体包括：
6.如权利要求4所述的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的耦合强度依赖的动力学行为分布，具体包括：
7.如权利要求6所述的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的局部行为与吸引子的评估，具体包括：
8.如权利要求4所述的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值调控的共存行为的机制，具体包括：
9.如权利要求4所述的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值调控的共存参数分岔，具体包括：
10.如权利要求4所述的一种基于双离散忆阻器的映射方法，其特征在于，所述确定三维双离散忆阻器超混沌映射模型的初值调控的共存线吸引子，具体包括：
