本发明属于计算机图形学技术领域，涉及如何为动态物体的材料建模，具体涉及动态物体的各向同性和各向异性的虚拟材料的能量建模方法和装置。
背景技术：
形变体形变仿真常见于电影特效、仿真模拟、虚拟现实等技术中。超弹材料作为其中的常用的材料之一，广泛应用于各行各业，尤其是在表现复杂的几何特征和不同材料特性的应用上，往往可以获得与众不同的难以言喻的形变效果。这些形变效果很大程度上依赖于材料的本构模型，即用来描述形变体材料的应力与应变的函数关系。随着仿真模拟领域的不断扩大，本构模型的研究已经成为一个多学科交叉的中心课题，引起了力学、材料学、物理学、应用数学、图形学研究者们的极大关注。图形学建模中常见的材料本构模型包括共旋线性模型、st.venant-kirchhoff模型、neohookean模型等。基于这些模型，可以通过调节材料参数，如杨氏模量和泊松系数来设计不同的材质，甚至通过获取实物的动态数据来获取更为真实的材料参数。然而，仅通过调节材料参数来获得多样的形变效果是十分有限的。实际上，常见的标准本构模型仅仅是整个材料空间一个小小的子集。随着虚拟现实应用的不断扩大，特别是医学、聚合物材料的模拟的需求，传统的各向同性材料模型，即形变体各个方向的弹性相同，不再合适。现实世界中更多的物体材料在不同的方向表现出不同的弹性特征，也就是各向异性。考虑到各向异性材料，整个材料空间更是巨大。
大千世界千奇百怪。为了描述这些丰富物质特性，各行各业的研究者们提出了许多的材料模型。在传统的基于连续介质假设的模型中，大多数都把弹性材料看作成各向同性的超弹性体，将超弹性材料单位体积的应变能-应变能密度函数ψ看作为green应变的第一、第二、第三不变量ι1、ι2、ι3的函数，以描述材料在负载作用下形变。其中，
i1＝tr(ftf),i2＝tr[(ftf)2],i3＝det(ftf)
f为变形梯度。且有
在这些模型中，最为常用的模型有mooney模型、mooney-rivlin模型、hart-smith模型、yeoh-fleming模型、gent模型等等。研究者们根据实验的不断发现，将以不变量ι1、ι2、ι3表示的应变能密度函数ψ从线性表示扩充到多项式表示，再到指数函数、对数函数表示等等，以获得对弹性材料特性更为精确的描述。
1967年，valansi和landel认为以往的以不变量表示的应变能密度函数由于
valansi-landel模型又被称为valansi-landel假设，认为当弹性材料在各向同性下，应变能函数对于三个主伸长量是可以互换的，这样应变能函数就可以表达成上式中三个主伸长量的分离对称的函数，且因为不同不变量的函数是相同的，这将简化整个模型的理论和实验工作。
由于valansi-landel模型有着严格的数学推导以及更加直观的物理解释，研究学者在valansi-landel工作基础上进一步给出了基于主伸长量的不同函数形式，如ogden模型的高阶多项式表示等等，以更逼真地预测材料的形变特征。2015年图形学研究者xu等进一步将基于主伸长量的应变能密度函数扩充为如下模式的函数形式：
ψ(λ1,λ2,λ3)＝f(λ1) f(λ2) f(λ3) g(λ1λ2) g(λ1λ3) g(λ2λ3) h(λ1λ2λ3)，
并为用户提供了界面用样条函数来拟合数据。因为valansi-landel假设在材料各向异性情况下不再成立，xu等在以上模型上添加了一个以方向定义的正交各向异性项，以模拟正交各向异性材料。在以主伸长量表示各向异性模型的研究中，shariff做出了大量的工作。在2016年的工作中，shariff将其表示各向异性的本构模型归结为主伸长量及对应主方向的函数。为了处理特定方向a的特性，shariff引入了第4、第5不变量：
并给出如下包含主伸长量、各向异性不变量的本构模型：
虽然shariff的工作将基于不变量和主伸长量的本构模型结合在一起，但实际在模型设计中其各向异性项必须远远小于各向同性项，这在图形学研究者xu等的工作中也提到。在各向异性的建模工作中，另一个值得一提的工作是diani于2004年提出的基于方向的建模方法。diani根据橡胶材料中的各种分子结构模型，提出了基于四面体、六面体、八面体等结构的基于方向的各向异性、各向同性模型。其模型的方向由多面体中心到多面体顶点定义[diani2004](diani,j.,brieu,m.,vacherand,j.m.,rezgui,a.,2004.directionalmodelforisotropicandanisotropicrubber-likematerials.mech.mater.36,313–321.)。但就如其工作中指出的一样，基于方向上的拉伸能量来定义材料的本构模型实际上是一种各向异性模型。为了得到基于方向上的各向同性本构模型，diani等从基于各多面体方向的本构模型的拟合效果中给出了一组他们认为的最接近各向同性的模型，但从理论上他们提出的仍然是一个各向异性模型。
技术实现要素：
为了解决计算机仿真模拟中各向同性、各向异性材料的统一编辑和建模的问题，本发明设计了一种基于方向的本构模型的建模方法。本发明定义的本构模型不仅构建了方向上材料伸长量的函数，而且还构建了方向间材料相互作用的函数。用户可以自己选择方向(见图1)，也可以根据本发明给出的一组方向来定义材料。在给出的这组材料方向上不仅可以定义各向同性、各向异性的线性、非线性函数，而且可以调节模型的泊松比。
本发明提出了一种基于方向的各向同性和各向异性的虚拟材料的建模方法，但不同于现有方法中以已有的多面体模型作为方向的选择，本发明的方向选择由用户根据所要求的材料进行选择，材料的本构模型不仅是方向伸长量的函数，还是方向间作用的函数。根据方向上的刚度计算，本发明理论地给出了一组方向，在该组方向上不仅可以定义各向同性材料的线性模型和非线性模型，而且可以定义材料的泊松比。
为实现本发明的目的，本发明采用的技术方案如下：
一种统一的各向同性、各向异性虚拟材料的能量建模方法，定义材料本构模型ψ由一组方向ξk上的拉伸能量ψtraction和转角能量ψrotation两部分构成，该方法的步骤包括：
根据用户定义或者预先给出的方向计算对应线性材料的弹性矩阵，以判定所选方向对所定义材料的影响；
根据所需材料定义所选方向的拉伸能量函数及其权重，由此获得当前方向所对应的拉伸能量ψtraction；
根据用户的材料需求，考虑是否加入当前方向的转角能量函数及其权重，获得当前方向所对应的转角能量ψrotation；
由拉伸能量ψtraction和转角能量ψrotation构成用户所定义的材料本构模型ψ。
进一步地，ψ定义如下：
ψ＝ψtraction ψrotation(1)
其中，拉伸能量ψtraction的计算公式为：
ktk是材料在方向ξk上拉伸能量的权重。
n是用户定义的材料方向个数，f是变形梯度。
其中，转角能量ψrotation的计算公式为：
krk是材料在方向ξk上转角能量的权重，
在本发明定义的本构模型下，ψtraction在下面这组方向{mi,1≤i≤9}：
并且在权重
下，函数f、g、h：
是各向同性的。因而，可以利用f、g、h函数的组合定义方向{mi,1≤i≤9}上的相关能量函数，包括基本的数学计算(四则运算)、多项式组合、对数等计算，从而构造材料的各向同性的线性和非线性本构模型。
利用这组方向，可以根据用户定义的泊松比ν和弹性模量e，利用下面公式来计算出方向上拉伸能量权重kt和转角能量权重kr，组装出符合用户要求的本构模型。
本发明中，任意方向上的材料本构模型虽然从初始是各向异性的，但通过方向{mi,1≤i≤9}的叠加和函数f、g、h的定义，能够保证所定义的本构模型是各向同性的，而且既可以是线性的，也可以是非线性的。
本发明中，通过转角能量的叠加调整材料的泊松比，以覆盖更为广泛的应用材料。
基于同一发明构思，本发明还提供一种统一的各向同性、各向异性虚拟材料的能量建模装置，是一种电子装置(计算机、服务器、智能手机等)，其包括存储器和处理器，所述存储器存储计算机程序，所述计算机程序被配置为由所述处理器执行，所述计算机程序包括用于执行本发明方法中各步骤的指令。
本发明的有益效果：
本发明的目的在于提供一种虚拟材料的统一的各向同性、各向异性的线性、非线性本构模型的建模方法，为仿真模拟、动画制作等提供更为方便的建模工具。本发明提出的方法将各向同性、各向异性的线性、非线性模型统一在一个模型中，该模型脱离了传统的基于应变不变量或者主伸长量模型的局限，通过方向上的拉伸以及方向间的作用达到对模型的建模和模型参数的修改。本模型简单直观，易于仿真、动画设计。本发明模型能保证刚度矩阵计算的对称性，确保整个仿真、动画设计的稳定性和鲁棒性。
附图说明
图1是本发明方向设计。
图2是本发明基于方向的本构模型的设计流程。
图3是传统neo-hookean材料和采用本发明方法构建的各向同性和各向异性材料的在正向负载下的变形图及其体积变化图。
图4是采用本发明方法构建的不同泊松比模型在相同拉伸长度下产生的不同变形图。
图5是采用本发明方法构建的正交异性材料的中空薄管变形图。
图6是采用本发明方法构建的线性和非线性模型的变形图。
具体实施方式
下面通过具体实施例并配合附图，对本发明做详细的说明。
本发明提出的基于方向的超弹性材料本构模型建模方法，同时考虑了所定义方向上的拉伸和方向间作用的能量，建立了统一的各向同性、各向异性的线性、非线性虚拟材料的建模方法。本模型不仅可以提供各向异性的方向选择，而且提供方向上能量函数的不同选择。
图1是本发明的方向设计。其中，x1、x2、x3表示世界坐标轴，θk表示方向ξk在x1x3平面上投影与坐标轴x1的的夹角，φk表示方向ξk与坐标轴x2的的夹角。ξk表示所选择的方向。
参见图2，本发明提供的建模方法包括以下步骤：
1)根据所需材料为各向同性或者是各向异性，选取方向
2)假定该材料是在选取的方向ξk上的拉伸度量为
其中，ψ为本发明定义的材料本构模型，εij、εmn表示格林应变张量的分量。
进而得到当前方向ξk的能量函数对材料弹性矩阵的影响如下：
其中：
根据上式计算结果用户可以确定当前选择方向ξk是否需要进一步修改，或者是否需要增加更多方向，以决定是转回步骤1)，还是进入步骤3)。弹性矩阵反应了线弹性材料的属性，它们通常具有下面的形式：
而对各向同性材料可以进一步具体表示为：
其中e是杨氏模量，ν为泊松比。具体地，根据当前设定的方向，由公式(10)可以得到所设定方向对所需材料的弹性矩阵(如(11)或(12))的影响，并由所有已设定方向的公式(10)的综合确定是否需要增加或者修改当前设定方向。
3)根据用户材料的各向同性还是各向异性的需求，设定当前方向ξk的拉伸能量函数
改变某个方向的权重，等效于调整某个方向的刚度(或弹性模量)。对不同的方向配置不同的权重，使材料不同方向的力学性能产生差异，构造出不同材料本构。
比如，在本发明公式(7)给出的权重下，线性拉伸能量在公式(6)给出的这组方向下具有如下的弹性矩阵：
这是一个线性的各向同性材料。其中，无量纲杨氏弹性模量e＝5/6，剪切模量g＝25/12,泊松比ν＝1/4，满足各向同性。但同样方向的线性拉伸能量在如下权重
下，得到不同的弹性矩阵：
可以看到(15)是不同于公式(14)所展示的线性材料。由于该材料
根据以上计算，用户可以确定所选择方向是否需要进一步修改或增删，以决定是转回步骤1)，还是进入步骤4)。
4)根据用户的材料需求，考虑是否加入当前方向的转角能量函数
同样，通过计算转角能量对线性材料的弹性矩阵的影响dijmn，用户可以判定当前方向的旋转能量的设置是否合适，其中
对(11)加上相应的方向等权重的旋转能量，即
下，得到如下的弹性矩阵：
可以看到，(14)是一个不同于(11)的各向同性材质的弹性矩阵。其中e＝187/45，g＝11/6,ν＝2/15，满足各向同性。通过构造拉伸与转角能量的叠加模型，可实现对泊松比ν的调整。
根据用户是否需要增减方向的旋转，转步骤1)或者进入步骤5)。
5)根据用户所选择的所有n个方向，获得用户所定义材料的本构模型的总能量函数：
ψ＝ψtraction ψrotation(1)
其中：
通过对模拟环境边界条件的设定以及负载的施加，根据用户所设定的材质模型的本构，我们得到所模拟物体的单元刚度矩阵如下：
带入平衡方程就能计算出模拟的动态变化，结束整个建模过程。
图3给出了传统neo-hookean材料和用本发明的基于方向的材料能量构建方法及公式(6)中给出的九个方向构建的各向同性和各向异性材料的在正向负载下的变形图及其体积变化图。其中9-ax-iso表示利用(6)给出的九个方向构建的各向同性材料；9-ax-aniso表示利用同样的九个方向构建的各向异性材料。模拟过程中首先给予模型正向负载，然后撤销负载。其中右边对应的是模拟过程中的截屏画面，左边是整个模拟过程体积变化图。从图中可以看到，不论是构建的各向同性还是异性，变形模型最后都能和传统模型一样回归原样，整个模拟过程体积的变化也是均匀的。各向异性材料的体积变化有稍许抖动，这也符合其各向异性的特质。此外，各向异性材料也展示出其在正向负载下产生的正向和剪切变化。
图4给出了用本发明的基于方向的材料能量构建方法及公式(6)中给出的九个方向构建的不同泊松比模型在相同拉伸长度下产生的不同变形。
图5给出了用本发明的基于方向的材料能量构建方法及公式(6)中给出的九个方向构建的正交异性材料的中空薄管变形图。其中，第一列表示模型给与中间部位的向右的拉力的视图，第二列分别给出模型在纵向、径向和切向方向上赋予其它方向的100倍数的弹性强度(用“100xstiffer”表示)的方向示意图，第三至五列表示在各自模型在模拟过程中，其模型中间截面视图。由于它们分别在纵向、径向和切向赋予其它方向的100倍数的弹性强度，由此，在给与中间部位的向右的拉力时，不同模型产生的不同效果。其中，对切向增强的模型，由于其切向拉伸需要更大的负载，其模型在整个模拟过程中表现得更为保持其圆壁；而对纵向模型，由于其纵向拉伸需要更大得负载，其模型表现为变形较小；而对径向模型，整个模型表现出保持原壁厚度的特性。
图6给出了用本发明的基于方向的材料能量构建方法及公式(6)中给出的九个方向构建的线性和非线性模型的变形图。由于本方法可以构建非线性模型，因而能给出随模型在负载下不断压缩而产生巨大的内力，也就是不可压材料的模型。本图中两个模型都给与了下颌部位持续的向下拉力。由于构建的不可压材料，右图非线性模型将展示出更多的变形细节和正常的变形效果；而左图的线性模型，由于不能产生正常的不可压属性，它会自己刺穿自己。
基于同一发明构思，本发明的另一实施例提供一种统一的各向同性、各向异性虚拟材料的能量建模装置，是一种电子装置(计算机、服务器、智能手机等)，其包括存储器和处理器，所述存储器存储计算机程序，所述计算机程序被配置为由所述处理器执行，所述计算机程序包括用于执行本发明方法中各步骤的指令。
基于同一发明构思，本发明的另一实施例提供一种计算机可读存储介质(如rom/ram、磁盘、光盘)，所述计算机可读存储介质存储计算机程序，所述计算机程序被计算机执行时，实现本发明方法的各个步骤。
以上公开的本发明的具体实施例和附图，其目的在于帮助理解本发明的内容并据以实施，本领域的普通技术人员可以理解，在不脱离本发明的精神和范围内，各种替换、变化和修改都是可能的。本发明不应局限于本说明书的实施例和附图所公开的内容，本发明的保护范围以权利要求书界定的范围为准。
1.一种统一的各向同性、各向异性虚拟材料的能量建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
根据用户定义或者预先给出的方向计算对应线性材料的弹性矩阵，以判定所选方向对所定义材料的影响；
根据所需材料定义所选方向的拉伸能量函数及其权重，由此获得当前方向所对应的拉伸能量ψtraction；
根据用户的材料需求，加入当前方向的转角能量函数及其权重，获得当前方向所对应的转角能量ψrotation；
由拉伸能量ψtraction和转角能量ψrotation构成用户所定义的材料本构模型ψ。
2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，ψ、ψtraction和ψrotation的计算公式为：
ψ＝ψtraction ψrotation，
其中，
3.如权利要求2所述的方法，其特征在于，通过方向的选择定义所需材料的各向同性、各向异性的线性和非线性本构模型。
4.如权利要求2或3所述的方法，其特征在于，所述预先给出的方向为{mi,1≤i≤9}，包括：
5.如权利要求3所述的方法，其特征在于，对各向同性材料，根据函数f、g、h来定义方向{mi,1≤i≤9}上的相关能量函数，相关能量函数是函数f、g、h函数的组合，包括基本的四则运算、多项式组合、对数计算；其中f、g、h的计算公式为：
6.如权利要求5所述的方法，其特征在于，任意方向上的材料本构模型虽然从初始是各向异性的，但通过方向{mi,1≤i≤9}的叠加和函数f、g、h的定义，能够保证所定义的本构模型是各向同性的，而且既能够是线性的，也能够是非线性的。
7.如权利要求6所述的方法，其特征在于，通过转角能量的叠加调整材料的泊松比，以覆盖更为广泛的应用材料。
8.如权利要求1所述的方法，其特征在于，根据用户定义的泊松比ν和弹性模量e，利用下面公式来计算出方向上拉伸能量权重kt和转角能量权重kr，进而组装出符合用户要求的本构模型：
9.一种统一的各向同性、各向异性虚拟材料的能量建模装置，其特征在于，包括存储器和处理器，所述存储器存储计算机程序，所述计算机程序被配置为由所述处理器执行，所述计算机程序包括用于执行权利要求1～8中任一权利要求所述方法的指令。
10.一种计算机可读存储介质，其特征在于，所述计算机可读存储介质存储计算机程序，所述计算机程序被计算机执行时，实现权利要求1～8中任一权利要求所述的方法。
技术总结